Desvendando A Sequência: Encontre A Fórmula Correta!

E aí, galera da matemática! Hoje a gente vai mergulhar de cabeça em um mistério numérico super interessante. Temos uma sequência que parece um pouco doida à primeira vista: 2, -5, 8, -11. Parece um daqueles desafios que te fazem coçar a cabeça, né? Mas calma, que a gente vai desmistificar isso juntos e encontrar a fórmula mágica que rege esses números. Se liga que vai ser show!

O Enigma da Sequência 2, -5, 8, -11

Primeiro de tudo, vamos dar uma boa olhada nessa sequência, galera. Temos 2, -5, 8, -11. O que a gente percebe de cara? Bom, os números estão mudando de sinal a cada termo. Começa positivo, vai para negativo, volta para positivo, e de novo negativo. Isso já nos dá uma pista importante: a fórmula provavelmente vai envolver algo que faça essa alternância de sinais acontecer. Outra coisa que chama a atenção é a diferença entre os termos. De 2 para -5, a diferença é -7. De -5 para 8, a diferença é 13. De 8 para -11, a diferença é -19. Essa diferença não é constante, o que descarta a ideia de ser uma progressão aritmética simples. Mas espera aí, se a gente olhar para os valores absolutos dos termos: 2, 5, 8, 11... olha só! A diferença entre esses valores é sempre 3 (5-2=3, 8-5=3, 11-8=3). Isso é uma pista QUENTE! Essa galera tá ligada em uma progressão aritmética, mas com um truque na manga: a alternância de sinais. Então, a fórmula geral vai precisar contemplar tanto o padrão de crescimento em módulo quanto a troca de sinais. É como se fosse uma dança entre dois ritmos, um constante e outro alternado. Pra sacar isso, a gente pode pensar que o termo geral vai ter duas partes: uma que cuida do módulo do número e outra que cuida do sinal. A parte do módulo, como vimos, tem um padrão de +3 a cada passo. Já a parte do sinal, a gente pode representar com algo do tipo $(-1)^n$ ou $(-1)^{n+1}$, dependendo se o primeiro termo é positivo ou negativo. Se o primeiro termo ($n=1$) é positivo, a gente pode usar $(-1)^{n+1}$ porque para $n=1$, $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (positivo). Se fosse o contrário, a gente usaria $(-1)^n$. Essa combinação de partes é o que vai nos dar a fórmula completa. E pra confirmar tudo isso, a gente vai testar as alternativas que nos foram dadas. É a melhor forma de validar a nossa intuição matemática, vocês concordam? Vamos nessa!

Analisando as Alternativas e Encontrando a Fórmula Correta

Agora que já entendemos o comportamento da nossa sequência 2, -5, 8, -11, chegou a hora de colocar a mão na massa e testar as alternativas que nos foram apresentadas. Lembrem-se, pessoal, a melhor forma de resolver esses problemas é ir passo a passo e não ter medo de testar. Vamos pegar cada alternativa e ver se ela se encaixa perfeitamente na nossa sequência.

• Alternativa a) $a_n = 3n - 1$

  • Para $n=1$: $a_1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$. Opa, bateu o primeiro termo!
  • Para $n=2$: $a_2 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$. Hummm, o segundo termo da nossa sequência é -5, e aqui deu 5. Não bateu. Essa alternativa já pode ir pra lixeira, galera.

• Alternativa b) $a_n = -3n + 2$

  • Para $n=1$: $a_1 = -3(1) + 2 = -3 + 2 = -1$. O primeiro termo é 2, não -1. Fora!

• Alternativa c) $a_n = -4n + 6$

  • Para $n=1$: $a_1 = -4(1) + 6 = -4 + 6 = 2$. Bateu o primeiro termo! Boa!
  • Para $n=2$: $a_2 = -4(2) + 6 = -8 + 6 = -2$. O segundo termo é -5, e aqui deu -2. Também não bateu. Essa também não é a nossa fórmula.

• Alternativa d) $a_n = 5n - 3$

  • Para $n=1$: $a_1 = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2$. Primeiro termo OK!
  • Para $n=2$: $a_2 = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$. Segundo termo é -5, aqui deu 7. Não rola!

Eita, parece que nenhuma das alternativas testadas diretamente funcionou para todos os termos da sequência 2, -5, 8, -11. Mas calma, não desistam ainda! Lembra que falamos sobre a alternância de sinais? As fórmulas que testamos não incluíam esse fator. Isso significa que a fórmula correta deve ter uma parte que controla o sinal e outra que controla o valor. A gente pode pensar que a parte de valor tem a ver com os números 2, 5, 8, 11... que crescem de 3 em 3. Vamos reavaliar a ideia da progressão aritmética com sinais alternados. Se a parte de valor se parece com $3n + c$ (ou algo parecido), e a gente precisa de sinais alternados, vamos pensar em algo como $a_n = ( ext{sinal}) imes ( ext{valor})$.

Olhando novamente para a sequência 2, -5, 8, -11, percebemos que os valores absolutos são 2, 5, 8, 11. Isso parece uma PA de razão 3. Se o primeiro termo fosse 2, a fórmula seria $3n - 1$. Mas os sinais estão alternando. Vamos tentar combinar isso. A parte que lida com os sinais pode ser $(-1)^{n+1}$ (para o primeiro termo ser positivo). Então, a gente poderia tentar algo como $a_n = (-1)^{n+1} imes ( ext{alguma fórmula linear})$.

Vamos testar uma forma que combine os sinais com um crescimento que se aproxime dos valores. Se pensarmos na estrutura de uma PA com sinal alternado, o termo geral pode ser escrito como $a_n = (-1)^{n+1} imes (3n - 1)$ ou $a_n = (-1)^{n+1} imes (3n + k)$.

Testando $a_n = (-1)^{n+1} imes (3n - 1)$:

• $n=1$: $a_1 = (-1)^{1+1} imes (3(1) - 1) = (-1)^2 imes (2) = 1 imes 2 = 2$. Ok.
• $n=2$: $a_2 = (-1)^{2+1} imes (3(2) - 1) = (-1)^3 imes (5) = -1 imes 5 = -5$. Ok!
• $n=3$: $a_3 = (-1)^{3+1} imes (3(3) - 1) = (-1)^4 imes (8) = 1 imes 8 = 8$. Ok!
• $n=4$: $a_4 = (-1)^{4+1} imes (3(4) - 1) = (-1)^5 imes (11) = -1 imes 11 = -11$. Ok!

Bingo! A fórmula $a_n = (-1)^{n+1} imes (3n - 1)$ gera a sequência 2, -5, 8, -11. No entanto, essa fórmula não está entre as alternativas apresentadas (a, b, c, d). Isso indica que talvez a questão ou as alternativas apresentadas tenham algum erro ou uma forma diferente de expressar a mesma relação. Vamos reexaminar as alternativas e a forma como a pergunta foi feita.

Se a intenção era uma progressão onde os termos alternam de sinal e o valor absoluto cresce de forma linear, as alternativas fornecidas não capturam essa complexidade de forma direta com uma única fórmula linear simples. As fórmulas lineares $an = ext{linear}$ só funcionam para sequências onde a diferença entre termos consecutivos é constante (PA) ou onde a diferença das diferenças é constante (PA de segunda ordem), e sem alternância de sinal por si só.

Considerando que a pergunta está propondo alternativas que são fórmulas lineares simples e a sequência apresentada é 2, -5, 8, -11, há uma contradição. Uma fórmula linear simples como $a_n = An + B$ não pode gerar a alternância de sinais que observamos. A estrutura da sequência sugere fortemente uma fórmula que inclua um fator de $(-1)^n$ ou $(-1)^{n+1}$ para gerenciar os sinais, combinado com uma progressão aritmética.

No entanto, se fôssemos forçados a escolher a alternativa que mais se aproxima ou se houvesse um erro na transcrição da sequência ou das alternativas, teríamos que reanalisar. Mas com a sequência e as alternativas exatas como apresentadas, nenhuma delas é a fórmula correta. A fórmula correta, como derivamos, é $a_n = (-1)^{n+1} (3n - 1)$.

Justificativa para a Inadequação das Alternativas:

As alternativas apresentadas (a, b, c, d) são todas na forma $a_n = Mn + C$, que representam progressões aritméticas puras. Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. Para a sequência 2, -5, 8, -11:

• $-5 - 2 = -7$
• $8 - (-5) = 13$
• $-11 - 8 = -19$

A diferença não é constante, portanto, não é uma PA simples. Mais importante, uma fórmula linear $a_n = Mn + C$ gera apenas valores que seguem uma linha reta, sem a alternância de sinal observada (positivo, negativo, positivo, negativo). Para obter essa alternância, a fórmula precisaria incluir um termo que varie com a paridade de $n$, como um fator $(-1)^n$ ou $(-1)^{n+1}$.

Conclusão Baseada nas Análises:

Com base na análise matemática rigorosa, nenhuma das alternativas (a, b, c, d) representa a fórmula geral para a sequência 2, -5, 8, -11. A fórmula correta que descreve essa sequência é $a_n = (-1)^{n+1} (3n - 1)$. Se a questão exige a escolha entre as alternativas dadas, é provável que haja um erro na formulação da questão ou nas opções de resposta, pois elas não contemplam a natureza alternante da sequência dada.

Se o objetivo era apenas encontrar uma fórmula que se encaixasse em alguns termos ou se a sequência fosse diferente, a resposta poderia mudar. Mas com os dados fornecidos, a conclusão é clara: as alternativas apresentadas não são adequadas.